OBIETTIVI FORMATIVI
L’insegnamento mira all’acquisizione della conoscenza e comprensione della terminologia, dei concetti fondamentali e delle metodologie di dimostrazione propri degli ambiti della Geometria e dell’Algebra Lineare.

DIDATTICA EROGATIVA
N. 48 VIDEOLEZIONI ON-LINE (N. 6 UNITA’ DIDATTICHE - DELLA DURATA DI DUE ORE PER OGNI CFU)

DIDATTICA INTERATTIVA
N. 2 LEZIONI INTERATTIVE PER CFU
N. 5 DISCUSSIONI TEMATICHE SUL FORUM DIDATTICO (TOPIC) E N. 2 POST PER CFU COME DAL LINEE GUIDA SULLA DIDATTICA DEL PQA
N. 2 E-TIVITY OGNI 5 CFU
N. 2 TEST PER OGNI CFU CON 8 DOMANDE A RISPOSTA MULTIPLA

PROGRAMMA DEL CORSO

Strutture algebriche:
Definizioni generali: operazioni e proprietà. Gruppi. Anelli. Campi.
Matrici:
Definizioni e proprietà. Sviluppo di determinanti: teorema di laplace. Rango di una matrice. Teorema degli orlati. Matrici a scalini. Inversa di una matrice. Teorema dell'inversa
Sistemi lineari:
Sistema di equazioni lineari: definizione, matrici associate, compatibilità e non, numero di soluzioni. Teorema di rouché-capelli. Teorema di Cramer. Metodo di eliminazione di Gauss. Base delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. Discussione dei sistemi lineari con parametro.
Spazi vettoriali:
La struttura di spazio vettoriale. Sottospazi vettoriali. Dipendenza e indipendenza lineare. Generatori. Basi. Lemma di steinitz. Teorema della base. Dimensione di uno spazio vettoriale. Intersezione e somma di sottospazi, somma diretta. Relazione di Grassmann.
Spazi euclidei:
Definizione di prodotto scalare. Definizione di spazio vettoriale euclideo reale. Definizione di norma. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Definizione di angolo. Definizione di vettori ortogonali e sottospazio ortogonale. Basi ortonormali. Componenti in una base ortonormale. Proiezioni ortogonali. Teorema e procedimento di Gram-Schmidt.
Applicazioni lineari:
Definizioni di applicazione lineare (omomorfismi), endo-, epi-, mono- morfismi. Nucleo e immagine. Teorema della dimensione.
Diagonalizzazione:
Autovalori e autovettori: definizioni, polinomio ed equazione caratteristici. Autospazi e relative proprietà. Molteplicità algebrica e geometrica. Diagonalizzazione semplice e ortogonale: definizioni per matrici ed endomorfismi. Teorema principale di caratterizzazione della diagonalizzazione. Teorema spettrale.
Geometria analitica nel piano
Sistema di riferimento cartesiano nel piano. Equazione della retta (algebrica, parametrica, simmetrica). Parallelismo e ortogonalità tra rette. Coniche: definizione, classificazione e forma canonica. / Esercizi su rappresentazioni di rette nel piano (costruzione, appartenenza, conversione tra diverse rappresentazioni).
Geometria analitica nello spazio
Sistema di riferimento cartesiano nello spazio. Prodotto vettoriale e prodotto misto. Equazione del piano (parametrica e cartesiana). Equazione della retta (parametrica, cartesiana, simmetrica). Fasci e stelle di piani. Condizioni di parallelismo e perpendicolarità nello spazio. Rette sghembe. / Esercizi su rappresentazioni di rette e piani nello spazio (costruzione, appartenenza, conversione tra diverse rappresentazioni).

MODALITÀ DI VERIFICA DEL PROFITTO IN INTINERE
Il grado di apprendimento degli studenti è monitorato costantemente attraverso gli strumenti e le metodologie di verifica.
In particolare, al fine di rendere fattibile la verifica e la certificazione degli esiti formativi il docente ed il tutor terranno conto del:
1. tracciamento automatico delle attività formative da parte del sistema - reporting;
2. il monitoraggio didattico e tecnico (a livello di quantità e qualità delle interazioni, di rispetto delle scadenze didattiche, di consegna degli elaborati previsti, ecc.).
3. le verifiche di tipo formativo in itinere, anche per l'autovalutazione (p. es. test multiple choice, vero/falso, sequenza di domande con diversa difficoltà, simulazioni, mappe concettuali, elaborati, progetti di gruppo, ecc.);
4. l'esame finale di profitto, nel corso del quale si tiene conto e si valorizza il lavoro svolto in rete (attività svolte a distanza, quantità e qualità delle interazioni on line, ecc.).
La valutazione, in questo quadro, tiene conto di più aspetti:
a. il risultato di un certo numero di prove intermedie (test on line, sviluppo di elaborati, ecc.);
b. la qualità e quantità della partecipazione alle attività on line (frequenza e qualità degli interventi monitorabili attraverso la piattaforma);
c. i risultati della prova finale.

Pertanto i dati raccolti saranno oggetto di valutazione da parte del docente per l'attività di valutazione dello studente.

MODALITÀ DI VALUTAZIONE E OBIETTIVI DELLA PROVA FINALE
L’accesso all’esame è subordinato al riconoscimento di frequenza, che verrà sancito con l'apposito certificato al momento della prenotazione dell'esame, che attesterà lo svolgimento delle attività didattiche di verifica in itinere e al livello del lavoro svolto nelle varie esercitazioni.
L’esame consisterà in una prova scritta, con prova orale facoltativa. La valutazione finale sarà espressa in 30esimi, con eventuale lode a seconda del grado di maturità raggiunta dallo studente.
L’esame mira agli obiettivi didattici descritti nel seguito. In particolare, lo studente dovrà:
a) esser capace di determinare il determinante e rango di una matrice;
b) saper trovare le soluzioni di un sistema lineare;
c) essere in grado di risolvere esercizi legati a spazi vettoriali ed euclidei;
d) saper riconoscere equazioni di rette e piani in 2D e 3D e le varie tipologie di coniche nel caso di geometria in 2D.
La prova scritta prevede un punteggio per tutti gli obiettivi precedenti, dal punto a) al punto d). Ogni obiettivo ha un punteggio variabile. La lode verrà attribuita in quei particolari casi in cui si dimostri una particolare maturità nella risoluzione dei quesiti d’esame.

CONOSCENZE E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE IN TERMINI DI RISULTATI ATTESI (DESCRITTORE DI DUBLINO N. 1)

● Acquisizione e comprensione del linguaggio matematico, dei concetti dell’algebra lineare e della geometria analitica
● Conoscenza e comprensione della terminologia, dei concetti fondamentali e delle metodologie di dimostrazione propri degli ambiti della geometria e dell’algebra, con particolare riferimento a: Matrici e sistemi lineari. Spazi vettoriali ed euclidei. Omomorfismi e Diagonalizzazione. Geometria analitica 2D e 3D.

COMPETENZE AL FINE DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE IN TERMINI DI RISULTATI ATTESI (DESCRITTORE DI DUBLINO N. 2)
● Lo studente sarà in grado di applicare le definizioni, i teoremi e le regole studiate nella risoluzione dei problemi.
● Lo studente sarà in grado di usare strutture e strumenti dell’algebra lineare per la gestione di problemi matematici.
● Lo studente sarà in grado di usare gli elementi in 2D e 3D da un punto di vista algebrico e geometrico.

G. ALBANO, LA PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA: TRA TEORIA E PRATICA, MAGGIOLI (2013).
G. ALBANO, C. D'APICE, S. SALERNO, ALGEBRA LINEARE, CUES (2002).