OBIETTIVI FORMATIVI
L’insegnamento presenta gli elementi di base di Analisi Matematica. Gli obiettivi formativi dell’insegnamento prevedono l’acquisizione di risultati e tecniche dimostrative, nonché nella capacità di utilizzare i relativi strumenti di calcolo.
Si prevedono conoscenze e capacità di comprensione sui seguenti aspetti:
1) Primi approcci ai numeri e alle funzioni reali.
2) Equazioni e disequazioni.
3) Numeri complessi.
4) Matrici.
5) Sistemi lineari.
6) Domini e limiti di funzioni reali di una variabile reale.
7) Calcolo di limiti e funzioni continue.
8) Derivate di funzioni reali di una variabile reale.
9) Studio di funzione.
10) Integrali indefiniti e definiti,
11) Serie numeriche.
12) Funzioni di due variabili.
Si prevedono conoscenze e capacità di comprensione di tipo applicativo sui seguenti aspetti:
1) Applicazioni dei teoremi e delle regole studiate per la risoluzione di problemi reali nel mondo dei trasporti.
2) Saper individuare le strategie risolutive migliori per equazioni nel campo complesso.
3) Capacità di effettuare calcoli con limiti, derivate, integrali e serie.
4) Essere in grado di studiare una funzione reale di una variabile reale e di tracciarne un grafico qualitativo.
5) Formalizzazione delle procedure per risolvere problemi di ottimizzazione nel caso di funzioni a due variabili.

DIDATTICA EROGATIVA
N. 96 VIDEOLEZIONI ON-LINE (N. 12 UNITA’ DIDATTICHE – DELLA DURATA DI DUE ORE PER OGNI CFU).

DIDATTICA INTERATTIVA
N. 2 LEZIONI INTERATTIVE PER CFU.
N. 5 DISCUSSIONI TEMATICHE SUL FORUM DIDATTICO (TOPIC) E N. 2 POST PER CFU COME DA LINEE GUIDA SULLA DIDATTICA DEL PQA.
N. 2 E-TIVITY OGNI 5 CFU.
N. 2 TEST PER OGNI CFU CON 8 DOMANDE A RISPOSTA MULTIPLA.

PROGRAMMA DEL CORSO
Modulo 1. Primi approcci ai numeri e alle funzioni reali:
Assiomi dei numeri reali, e relative proprietà. Teoria degli insiemi: generalità e rappresentazione; intersezione, unione, insieme delle parti, differenza; prodotto cartesiano. Numeri naturali, interi, razionali, reali. Estremi superiore ed inferiore, massimo e minimo di un insieme numerico. Numeri naturali, interi e razionali. Funzioni: dominio, invertibilità, crescenza e decrescenza. Funzioni elementari.

Modulo 2. Equazioni e disequazioni:
Equazioni di primo e secondo grado. Disequazioni di primo e secondo grado. Disequazioni di grado superiore al secondo, disequazioni fratte e sistemi di disequazioni. Disequazioni irrazionali, esponenziali e logaritmiche.

Modulo 3. Numeri complessi:
Numeri complessi in forma cartesiana, forma trigonometrica, forma esponenziale e forma polare. Razionalizzazione di numeri complessi in forma cartesiana. Proprietà del prodotto e del rapporto tra numeri complessi in forma trigonometrica, esponenziale e polare. Potenze e radici di numeri complessi. Risoluzione di equazioni nel campo complesso.

Modulo 4. Matrici:
Operazioni tra matrici: addizione, sottrazione, moltiplicazione tra matrici e proprietà di non commutatività; moltiplicazione tra uno scalare ed una matrice. Determinanti di matrici quadrate: generalità; regole di calcolo; proprietà dei determinanti. Rango di matrici: generalità; calcolo nel caso di matrici quadrate e non quadrate; relazione tra rango di matrici e lineare indipendenza/dipendenza di vettori riga/colonna.

Modulo 5. Sistemi lineari:
Formulazione matriciale di un sistema lineare. Caratterizzazione delle soluzioni di un sistema lineare: unicità di soluzione, infinite soluzioni, incompatibilità; significato geometrico di un sistema lineare e legame con le sue soluzioni. Regole di risoluzione: metodo della matrice inversa; metodo di Cramer. Sistemi lineari omogenei. Formalizzazione delle soluzioni di un sistema lineare mediante procedure che prevedono operazioni elementari tra righe e colonne delle matrici complete ed incomplete.

Modulo 6. Domini e limiti di funzioni reali di una variabile reale:
Funzioni reali di variabile reale: tecniche per il calcolo del dominio. Approccio intuitivo alla definizione di limite: significato geometrico di un limite finito quando la variabile indipendente tende ad un valore finito/infinito; significato geometrico di un limite infinito quando la variabile indipendente tende ad un valore finito/infinito. Formalizzazione analitica di limite finito/infinito quando la variabile indipendente tende ad un valore finito/infinito. Limiti di funzioni composte. Teorema di unicità del limite. Teorema del confronto. Forme indeterminate. Infiniti ed infinitesimi. Asintoti di una funzione.

Modulo 7. Calcolo di limiti e funzioni continue:
Procedure di calcolo per limiti che si presentano in forma indeterminata. Limiti notevoli e loro applicazioni. Funzioni continue in un punto ed in un intervallo. Punti di discontinuità di una funzione. Teorema di Weierstrass, teorema di permanenza del segno, teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi.

Modulo 8. Derivate di funzioni reali di una variabile reale:
Limite del rapporto incrementale e definizione di derivata. Significato geometrico della derivata. Derivabilità e continuità. Derivate delle funzioni elementare. Derivate delle funzioni composte. Massimi e minimi relativi per funzioni reali di variabile reale. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Funzioni concave, convesse e punti di flesso. Teorema di De L’Hospital.

Modulo 9. Studio di funzione:
Procedure per lo studio di una funzione e per il tracciamento del suo grafico qualitativo. Approfondimenti sulle funzioni razionali fratte.

Modulo 10. Integrali indefiniti e definiti:
Primitive e integrale indefinito. Integrali immediati di funzioni elementari e di funzioni composte. Regole e metodi di integrazione. Integrali per parti e per sostituzione. Integrale definito e suo significato geometrico. Teorema della media. Funzione integrale e teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale.

Modulo 11. Serie numeriche:
Legame tra successioni numeriche e serie numeriche. Serie convergenti, divergenti ed indeterminate. Serie geometrica, armonica e telescopica. Criteri di convergenza per serie a termini positivi: criterio del confronto, del rapporto e della radice. Criterio di Leibniz per la convergenza delle serie a segno alterno.

Modulo 12. Funzioni di due variabili:
Domini e topologia per funzioni di due variabili. Limiti, continuità e derivabilità. Differenziabilità. Massimi e minimi relativi per funzioni di due variabili: generalità; condizione necessaria del primo ordine. Condizione sufficiente del secondo ordine.

MODALITÀ DI VERIFICA DEL PROFITTO IN INTINERE
Il grado di apprendimento degli studenti è monitorato costantemente attraverso gli strumenti e le metodologie di verifica.
In particolare, al fine di rendere fattibile la verifica e la certificazione degli esiti formativi il docente ed il tutor terranno conto dei seguenti aspetti:
1) tracciamento automatico delle attività formative da parte del sistema – reporting;
2) monitoraggio didattico e tecnico (a livello di quantità e qualità delle interazioni, di rispetto delle scadenze didattiche, di consegna degli elaborati previsti, ecc.);
3) verifiche di tipo formativo in itinere, anche per l'autovalutazione (p. es. test multiple choice, vero/falso, sequenza di domande con diversa difficoltà, simulazioni, mappe concettuali, elaborati, progetti di gruppo, ecc.);
4) esame finale di profitto, nel corso del quale si tiene conto e si valorizza, oltre alle prestazioni in sede d’esame, anche del lavoro svolto in rete (attività svolte a distanza, quantità e qualità delle interazioni on line, ecc.).
La valutazione, in questo quadro, tiene conto di più aspetti:
a) il risultato di un certo numero di prove intermedie, se previste (in termini di test on line, sviluppo di elaborati, ecc.);
b) la qualità e quantità della partecipazione alle attività on line (frequenza e qualità degli interventi monitorabili attraverso la piattaforma);
c) i risultati della prova finale.
Si specifica che la prova finale è soltanto di tipo “scritto”. La prova orale è facoltativa ed è utile solo ed esclusivamente ad affinare la valutazione dello scritto. Gli argomenti della prova orale, se svolta, vengono concordati tra il docente e lo studente.
Tutti i dati raccolti saranno, in generale, oggetto di valutazione da parte del docente per attribuire allo studente una valutazione che sia oggettiva e coerente con gli obiettivi dell’università, tenendo conto sia degli aspetti sommativi sia degli aspetti formativi.

MODALITÀ DI VALUTAZIONE E OBIETTIVI DELLA PROVA FINALE
L’accesso all’esame è subordinato al riconoscimento di frequenza, che verrà sancito con l'apposito certificato al momento della prenotazione dell'esame, che attesterà lo svolgimento delle attività didattiche di verifica in itinere e al livello del lavoro svolto nelle varie esercitazioni.
L’esame consisterà in una prova scritta, con prova orale facoltativa. La valutazione finale sarà espressa in 30esimi, con eventuale lode a seconda del grado di maturità raggiunta dallo studente.
L’esame mira agli obiettivi didattici descritti nel seguito. In particolare, lo studente dovrà:
a) esser capace di determinare il dominio di una funzione reale di una variabile reale;
b) saper trovare le soluzioni di un’equazione in campo complesso;
c) essere in grado di riconoscere la migliore strategia risolutiva per i limiti di funzioni reali di una variabile reale;
d) saper studiare il grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale, individuando eventuali asintoti, eventuali massimi/minimi relativi ed assoluti, ed eventuali punti di flesso;
e) essere in grado di riconoscere una possibile metodologia per risolvere un integrale indefinito, oppure definito;
f) saper studiare il carattere di una serie numerica;
g) essere in grado di individuare possibili massimi/minimi relativi per funzioni di due variabili.
La prova scritta prevede un punteggio per tutti gli obiettivi precedenti, dal punto a) al punto g). Ogni obiettivo ha un punteggio variabile. La lode verrà attribuita in quei particolari casi in cui si dimostri una particolare maturità nella risoluzione dei quesiti d’esame.

CONOSCENZE E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE IN TERMINI DI RISULTATI ATTESI (DESCRITTORE DI DUBLINO N. 1)
La conoscenza della teoria sulle funzioni reali di una variabile reale permetterà allo studente di acquisire consapevolezza sulla possibile modellazione analitica di fenomeni che descrivono il mondo reale dei trasporti.
La conoscenza della teoria sugli integrali permetterà di stimare in maniera appropriata il volume dei flussi di traffico in reti di trasporto.
La conoscenza della teoria sulle serie numeriche permetterà di definire delle tecniche di convergenza per schemi numerici ad hoc per la simulazione delle reti di trasporto.
La conoscenza della teoria sulle funzioni di due variabili permetterà allo studente di definire opportune tecniche di ottimizzazione per le prestazioni del traffico in reti di trasporto.

COMPETENZE AL FINE DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE IN TERMINI DI RISULTATI ATTESI (DESCRITTORE DI DUBLINO N. 2)
Lo studente sarà in grado di utilizzare le conoscenze relative alla teoria delle funzioni, dell’integrazione e delle serie numeriche per risolvere problemi analitici/numerici che si riscontrano comunemente nelle normali reti di trasporto.
Lo studente sarà in grado di utilizzare le conoscenze sulle funzioni di più variabili per formulare problemi di ottimizzazione del traffico nelle reti di trasporto

• Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Elementi di Analisi Matematica 1, Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea, Liguori Editore, 2016.
• Ciro D’Apice, Rosanna Manzo, Verso l’esame di Matematica 1, Maggioli Editore, 2015.
• Ciro D’Apice, Tiziana Durante, Rosanna Manzo, Verso l’esame di Matematica 2, Maggioli Editore, 2015.
Materiale didattico integrativo sarà disponibile nella sezione dedicata all’insegnamento all’interno della piattaforma di ateneo.