Obiettivi formativi per il raggiungimento dei risultati di apprendimenti previsti nella scheda SUA
L’insegnamento mira all’acquisizione della conoscenza e comprensione della terminologia, dei concetti fondamentali e delle metodologie di dimostrazione propri degli ambiti della geometria e dell’algebra.
Eventuali criticità riscontrate (da compilare solo al secondo anno di insegnamento)

Numero totale e descrizione delle unità didattiche **
Nr. Totale: 12

Organizzazione della didattica (lezioni, laboratorio etc)
didattica EROGATIVA
N. 12 ORE videoLEZIONI ON-LINE (n. 2 videolezioni - unita’ didattiche - della durata di un’ora per ogni cfu)

didattica interattiva
n. 12 ore lezioni in streaming (n. 2 lezioni in streaming per ogni cfu) di cui n. // da registrare e pubblicare in piattaforma ed eventuali n. // per esercitazioni in aula
n. 12 forum – 2 per CFU
N. // CHAT
N. // WEB CONFERENCE
N. // PROGETTI
N. // REPOSITORY
N. 6 TEST (ALMENO 1 PER CFU) CON 10 DOMANDE
ASSISTENZA MEDIANTE E-MAIL

Programma del corso
Strutture algebriche:
Definizioni generali: operazioni e proprietà. Gruppi. Anelli. Campi.
Logica delle proposizioni
Sintassi: operatori fondamentali. Semantica: tavole di verità, validità e conseguenza. Calcolo della deduzione naturale: teoremi di deduzione, correttezza e completezza, sistemi formali.
Insiemi e algebre di boole:
Algebra degli insiemi. Algebre di boole. Forme normali disgiuntive e congiuntive.
Logica dei predicati:
Linguaggi predicativi: alfabeto, termini e formule, variabili libere e vincolate, quantificatori e dimostrazioni.
Matrici:
Definizioni e proprietà. Sviluppo di determinanti: teorema di laplace. Rango di una matrice. Teorema degli orlati. Matrici a scalini. Inversa di una matrice.
Sistemi lineari:
Sistema di equazioni lineari: definizione, matrici associate, compatibilità e non, numero di soluzioni. Teorema di rouché-capelli. Teorema di cramer. Metodo di eliminazione di gauss. Base delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. Discussione dei sistemi lineari con parametro.
Spazi vettoriali:
La struttura di spazio vettoriale. Sottospazi vettoriali. Dipendenza e indipendenza lineare. Generatori. Basi. Lemma di steinitz. Teorema della base. Dimensione di uno spazio vettoriale. Intersezione e somma di sottospazi, somma diretta. Relazione di grassmann.
Spazi euclidei:
Definizione di prodotto scalare. Definizione di spazio vettoriale euclideo reale. Definizione di norma. Disuguaglianza di cauchy-schwarz. Definizione di angolo. Definizione di vettori ortogonali e sottospazio ortogonale. Basi ortonormali. Componenti in una base ortonormale. Proiezioni ortogonali. Teorema e procedimento di gram-schmidt.
Applicazioni lineari:
Definizioni di applicazione lineare (omomorfismi), endo-, epi-, mono- morfismi. Nucleo e immagine. Teorema della dimensione.
Diagonalizzazione:
Autovalori e autovettori: definizioni, polinomio ed equazione caratteristici. Autospazi e relative proprietà. Molteplicità algebrica e geometrica. Diagonalizzazione semplice e ortogonale: definizioni per matrici ed endomorfismi. Teorema principale di caratterizzazione della diagonalizzazione. Teorema spettrale.
Geometria analitica nel piano
Sistema di riferimento cartesiano nel piano. Equazione della retta (algebrica, parametrica, simmetrica). Parallelismo e ortogonalità tra rette. Applicazioni lineare nel piano (rotazioni, riflessioni, dilatazioni e contrazioni, deformazioni). Coniche: classificazione e forma canonica.
Geometria analitica nello spazio
Sistema di riferimento cartesiano nello spazio. Prodotto vettoriale e prodotto misto. Equazione del piano (parametrica e cartesiana). Equazione della retta (parametrica, cartesiana, simmetrica). Fasci e stelle di piani. Condizioni di parallelismo e perpendicolarità nello spazio. Rette sghembe.

Modalità di verifiche di profitto in itinere
Il grado di apprendimento degli Studenti è monitorato costantemente attraverso metodologie e strumenti di verifica. In particolare, al fine di rendere fattibile la verifica e la certificazione degli esiti formativi, il docente e il tutor terranno conto de:
Il tracciamento automatico delle attività formative da parte del sistema-reporting;
Il monitoraggio didattico e tecnico (a livello di quantità e qualità delle interazioni, di rispetto delle scadenze didattiche, di consegna degli elaborati previsti, ecc);
Le verifiche di tipo formativo in itinere, anche per l’autovalutazione (es. test multiple choice, vero/falso, sequenza di domande con diversa difficoltà, simulazioni, mappe concettuali, elaborati, progetti di gruppo, ecc);
L’esame finale di profitto, nel corso del quale si tiene conto e si valorizza il lavoro svolto in rete (attività svolte a distanza, quantità e qualità delle interazioni on line, ecc).

La valutazione in questo quadro tiene conto di più aspetti:
Il risultato di un certo numero di prove intermedie (test on line, sviluppo di elaborati, ecc);
La qualità e la quantità della partecipazione alle attività on line (frequenza e qualità degli interventi monitorabili attraverso la piattaforma);
I risultati della prova finale.

Pertanto i dati raccolti saranno oggetto di analisi da parte del docente per l’attività di valutazione dello Studente.
Modalità di valutazione*

Obiettivi della Prova
La prova di esame è finalizzata a valutare: la conoscenza e la comprensione dei concetti presentati al corso; la padronanza del linguaggio matematico nella prova scritta ed orale; la capacità di dimostrare teoremi; la capacità di risolvere esercizi; la capacità di individuare ed applicare i metodi più appropriati ed efficienti nella risoluzione di un esercizio; la capacità di applicare le conoscenze acquisite nella risoluzione di esercizi non presentati durante il corso.
Il raggiungimento degli obiettivi dell’insegnamento è certificato mediante il superamento di un esame con valutazione in trentesimi. La prova d’esame consta di una prova scritta ed un colloquio orale.
La prova scritta ha di norma una durata non inferiore a 120 minuti ed è finalizzata a verificare la capacità di applicare correttamente le conoscenze teoriche e di comprendere le problematiche proposte. La prova scritta è propedeutica alla prova orale e consiste nella risoluzione di esercizi tipici presentati al corso (esempi dei quali sono consultabili sul sito del consiglio didattico) e nella valutazione si terrà conto della modalità di soluzione dei problemi proposti e della chiarezza e completezza espositiva. Nel caso di superamento della prova scritta, ad essa è attribuita una valutazione in fasce qualitative. La prova si svolge anteriormente alla prova orale e si considera superata con il raggiungimento del punteggio minimo prestabilito.
La prova orale consiste in un colloquio prevalentemente teso ad accertare il grado di conoscenza di tutti gli argomenti oggetto del corso, e verte su definizioni, enunciati e dimostrazione di teoremi, comprensione di risoluzione di esercizi.
Il voto finale, espresso in trentesimi con eventuale lode, è determinato partendo da quello conseguito nella prova scritta modulandolo in eccesso o in difetto sulla base del colloquio orale.

Conoscenze e capacità di comprensione che consentono di elaborare e/o applicare idee originali, spesso in un contesto di ricerca (descrittore di Dublino n. 1)
Conoscenza e comprensione della terminologia, dei concetti fondamentali e delle metodologie di dimostrazione propri degli ambiti della geometria e dell’algebra, con particolare riferimento agli argomenti di seguito elencati.
Matrici e sistemi lineari. Spazi vettoriali ed euclidei. Autovalori e diagonalizzazione. Geometria analitica 2d e 3d.

Capacità di applicare conoscenza, comprensione e abilità nel risolvere i problemi (descrittore di Dublino n. 2)
•Saper applicare le definizioni, i teoremi e le regole studiate alla risoluzione di problemi.
•saper usare strutture e strumenti dell’algebra lineare per la gestione di problemi matematici.
•saper utilizzare gli elementi in 2d e 3d da un punto di vista algebrico e geometrico.

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